15 Терминология

Содержание: [Показать]

Вероятность - это мера, которая связана с тем, насколько мы уверены в результатах определенного эксперимента или деятельности. Эксперимент - это плановая операция, проводимая в контролируемых условиях. Если результат не предопределен, эксперимент считается случайным. Дважды подбросить одну честную монету - это пример эксперимента.

Результат эксперимента называется исходом. Пространство выборки эксперимента - это набор всех возможных результатов. Три способа представить пространство выборки: перечислить возможные результаты, создать древовидную диаграмму или создать диаграмму Венна. Заглавная буква S используется для обозначения выборочного пространства. Например, если вы подбрасываете одну честную монету, S = < H , T >, где H = решка и T = решка - это результаты.

Событие - это любая комбинация результатов. Заглавные буквы, такие как A и B, обозначают события. Например, если эксперимент заключается в подбрасывании одной справедливой монеты, событие A может получить не более одной головы. Вероятность события A записывается P ( A ).

Вероятность любого исхода - это относительная частота такого исхода в долгосрочной перспективе. Вероятности находятся в диапазоне от нуля до единицы включительно(то есть от нуля до единицы и всех чисел между этими значениями). P ( A ) = 0 означает, что событие A никогда не произойдет. P ( A ) = 1 означает, что событие A всегда происходит. P ( A ) = 0,5 означает, что событие A с одинаковой вероятностью произойдет или не произойдет. Например, если вы подбрасываете одну честную монету несколько раз (от 20 до 2 000–20 000 раз), относительная частота выпадения орла приближается к 0,5 (вероятность выпадения орла).

Равно вероятность означает, что каждый исход эксперимента происходит с равной вероятностью. Например, если вы подбрасываете правильный шестигранный кубик, каждая грань (1, 2, 3, 4, 5 или 6) имеет такую ​​же вероятность, как и любая другая грань. Если вы подбросите честную монету, вероятность выпадения головы ( H ) и хвоста ( T ) одинакова. Если вы случайным образом угадываете ответ на истинный / ложный вопрос на экзамене, вы с одинаковой вероятностью выберете правильный или неправильный ответ.

Чтобы вычислить вероятность события A, когда все исходы в пространстве выборки равновероятны, подсчитайте количество исходов для события A и разделите на общее количество исходов в пространстве выборки. Например, если вы подбрасываете честный и честный никель, размер выборки будет < HH , TH , HT , TT >, где T = решка, а H = решка . Пространство выборки имеет четыре результата. A = одна голова. Этому условию удовлетворяют два результата < HT , TH >, поэтому P ( A ) = = 0,5.

Предположим, вы бросаете один хороший шестигранный кубик с числами на его гранях. Пусть событие E = выпадение числа, равного как минимум пяти. Есть два исхода . P ( E ) =. Если бы вам пришлось бросить кубик всего несколько раз, вы не удивитесь, если ваши наблюдаемые результаты не совпадут с вероятностью. Если бы вы бросили кубик очень много раз, можно было бы ожидать, что в целом результат бросков будет «не менее пяти». Вы не ожидали точно. Долгосрочная относительная частота получения этого результата будет приближаться к теоретической вероятности по мере того, как количество повторений становится все больше и больше.

Эта важная характеристика вероятностных экспериментов известна как закон больших чисел, который гласит, что по мере увеличения количества повторений эксперимента относительная частота, полученная в эксперименте, имеет тенденцию становиться все ближе и ближе к теоретической вероятности. Несмотря на то, что результаты не происходят в соответствии с какой-либо установленной схемой или порядком, в целом долгосрочная наблюдаемая относительная частота будет приближаться к теоретической вероятности. (Слово « эмпирический»часто используется вместо слова «наблюдаемый».)

Важно понимать, что во многих ситуациях результаты не одинаково вероятны. Монета или кубик могут быть несправедливыми или необъективными. Два профессора математики в Европе попросили своих студентов-статистиков протестировать бельгийскую монету в один евро и обнаружили, что в 250 попытках голова была получена в 56% случаев, а хвост - в 44%. Данные, кажется, показывают, что монета нечестная; чтобы сделать более точный вывод о такой предвзятости, было бы полезно больше повторений. Некоторые кости могут быть необъективными. Посмотрите на игральные кости в игре, которые есть у вас дома; пятна на каждом лице обычно представляют собой небольшие отверстия, вырезанные и затем окрашенные, чтобы пятна были видны. Ваша игра в кости может быть предвзятой, а может и нет; возможно, что на результат может повлиять небольшая разница в весе из-за разного количества отверстий на гранях. Казино с азартными играми зарабатывают много денег в зависимости от результатов броска игральных костей, поэтому игральные кости в казино делаются по-другому, чтобы избежать предвзятости. У игральных костей казино плоские грани;отверстия полностью заполнены краской той же плотности, что и материал, из которого сделаны игральные кости, так что вероятность появления каждой грани одинакова. Позже мы изучим методы работы с вероятностями для событий, которые не равновероятны.

«» Событие: Союз исход в случае B , если результат находится в A или в B или в обоих A и B . Например, пусть A = и B = . A B = . Обратите внимание, что 4 и 5 НЕ указаны дважды.

Событие «»: Пересечение. Результатом является событие A B, если исход находится в обоих A и B одновременно. Например, пусть A и B будут и соответственно. Тогда A B = .

Условная вероятность A для данного B записывается P ( A B ). Р ( Б ) есть вероятность того, что событие будет происходить при условии , что событие В уже произошли. Условное выражение уменьшает пространство выборки. Вычислим вероятность А из восстановленного образца пространства B . Формула для вычисления P ( A B ): P ( A B ) = где P ( B ) больше нуля.

Например, предположим, что мы подбрасываем одну честную шестигранную игральную кость. Пространство выборки S = . Пусть A = face равно 2 или 3, а B = face четно (2, 4, 6). Для вычисления P ( B ), мы подсчитать количество результатов 2 или 3 в образце пространства B = . Затем мы делим это на количество результатов B (а не S ).

Тот же результат мы получаем, используя формулу. Помните, что у S шесть результатов.

Шансы. Шансы события представляют собой вероятность как отношение успеха к неудаче. Это распространено в различных форматах азартных игр. Математически вероятность события может быть определена как:

где P ( A ) - вероятность успеха и, конечно, 1 - P ( A ) - вероятность неудачи. Шансы всегда указываются как «числитель к знаменателю», например 2 к 1. Здесь вероятность выигрыша вдвое больше, чем проигрыша; Таким образом, вероятность выигрыша составляет 0,66. Вероятность выигрыша 0,60 создаст шансы в пользу выигрыша 3 к 2. Хотя расчет шансов может быть полезен в местах проведения азартных игр при определении суммы выплаты, он не полезен для понимания теории вероятности или статистической теории.

Понимание терминологии и символов. Важно внимательно прочитать каждую проблему, чтобы обдумать и понять, в чем заключаются события. Понимание формулировки - первый очень важный шаг в решении вероятностных задач. При необходимости перечитайте задачу несколько раз. Четко определите интересующее событие. Определите, есть ли в формулировке условие, которое указывало бы на то, что вероятность является условной; внимательно определите состояние, если оно есть.

Пространство отсчетов S - это целые числа, начиная с единицы и меньше 20.

Пусть событие A = четные числа, а событие B = числа больше 13.

  1. S =
  2. A = , B =
  3. P ( A ) =, P ( B ) =
  4. A B = , A OR B =
  5. Р ( Б ) =, Р ( Б ) =
  6. A ' = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19; P ( A ′ ) =
  7. Р ( А ) + Р ( А ' ) = 1 (+ = 1)
  8. P ( A B ) = =, P ( B A ) = =, Нет

Пространство выборки S - это все упорядоченные пары двух целых чисел, первое от одного до трех, а второе от одного до четырех (Пример: (1, 4)).

  1. S =
  2. А =

Выбрасывается честный шестигранный кубик. Опишите пространство выборки S , определите каждое из следующих событий с помощью подмножества S и вычислите его вероятность (результат - это количество появившихся точек).

  1. Событие T = результат два.
  2. Событие A = результат - четное число.
  3. Событие B = результат меньше четырех.
  4. Дополнение A .
  5. А Б
  6. Б А
  7. А Б
  8. А Б
  9. A B ′
  10. Событие N = результат - простое число.
  11. Событие I = результат семь.
  1. Т = , Р ( Т ) =
  2. А = , Р ( А ) =
  3. B = , P ( B ) =
  4. A ′ = , P ( A ′ ) =
  5. A B = , P ( A B ) =
  6. B A = , P ( B A ) =
  7. A B = , P ( A B ) =
  8. A B = , P ( A B ) =
  9. A B ′ = , P ( A B ′ ) =
  10. N = , P ( N ) =
  11. Шестигранный кубик не имеет семи точек. Р (7) = 0.

(Рисунок) описывает распределение случайной выборки S из 100 человек, организованных по полу, и от того, правши они или левши.

Правша Левша
Самцы 43 год 9
Самки 44 год 4

Обозначим события M = субъект - мужчина, F = субъект - женщина, R = субъект правша, L = субъект левша. Вычислите следующие вероятности:

  1. П ( М )
  2. P ( F )
  3. P ( R )
  4. P ( L )
  5. P ( M R )
  6. P ( F L )
  7. П ( М Ж )
  8. P ( M R )
  9. P ( F L )
  10. П ( М ' )
  11. P ( R M )
  12. P ( F L )
  13. P ( L F )
  1. Р ( М ) = 0,52
  2. P ( F ) = 0,48
  3. P ( R ) = 0,87
  4. P ( L ) = 0,13
  5. P ( M R ) = 0,43
  6. P ( F L ) = 0,04
  7. P ( M F ) = 1
  8. P ( M R ) = 0,96
  9. P ( F L ) = 0,57
  10. Р ( М ' ) = 0,48
  11. P ( R M ) = 0,8269 (округлено до четырех знаков после запятой)
  12. P ( F L ) = 0,3077 (округлено до четырех знаков после запятой)
  13. P ( L F ) = 0,0833

использованная литература

«Список стран по континентам». Worldatlas, 2013. Доступно на сайте http://www.worldatlas.com/cntycont.htm (по состоянию на 2 мая 2013 г.).

Обзор главы

В этом модуле мы изучили основную терминологию вероятности. Множество всех возможных результатов эксперимента называется пространством выборки. События - это подмножества пространства выборки, и им присваивается вероятность, которая представляет собой число от нуля до единицы включительно.

Формула Обзор

P ( S ) = 1, где S - выборочное пространство

В конкретном классе колледжа есть студенты мужского и женского пола. У некоторых студентов длинные волосы, а у некоторых - короткие. Напишите символывероятностей событий для частей от a до j. (Обратите внимание, что вы не можете найти здесь числовые ответы. Вам пока не предоставили достаточно информации, чтобы найти какие-либо значения вероятности; сконцентрируйтесь на понимании символов.)

  • Пусть F будет событием, когда студент женского пола.
  • Пусть M будет событием, когда студент - мужчина.
  • Пусть S будет случаем, когда у студента короткие волосы.
  • Пусть L будет событием, что у студента длинные волосы.
  1. Вероятность того, что у школьника нет длинных волос.
  2. Вероятность того, что студент мужского пола или у него короткие волосы.
  3. Вероятность того, что студент женского пола и у него длинные волосы.
  4. Вероятность того, что студент - мужчина, при условии, что у него длинные волосы.
  5. Вероятность того, что у студента длинные волосы, при условии, что студент мужского пола.
  6. Из всех студенток вероятность того, что у студентки короткие волосы.
  7. Среди всех учеников с длинными волосами вероятность того, что ученица - девушка.
  8. Вероятность того, что студент женского пола или у него длинные волосы.
  9. Вероятность того, что случайно выбранный студент - это студент-мужчина с короткими волосами.
  10. Вероятность того, что студент - женщина.
  1. P ( L ′ ) = P ( S )
  2. P ( M S )
  3. P ( F L )
  4. P ( M L )
  5. P ( L M )
  6. P ( S F )
  7. P ( F L )
  8. P ( F L )
  9. P ( M S )
  10. P ( F )

Используйте следующую информацию, чтобы ответить на следующие четыре упражнения. Коробка заполнена несколькими сувенирами. В нем 12 шляп, 15 шумоглушителей, десять ловушек для пальцев и пять пакетов конфетти.

Пусть H = событие получения шляпы.

Пусть N = событие получения шумогенератора.

Пусть F = событие попадания в ловушку для пальца.

Пусть C = событие получения мешка конфетти.