Шансы на день рождения: выше, чем вы думаете!

Содержание: [Показать]

Само собой разумеется, что одинаковые шансы на день рождения для одного человека, встретившего другого, составляют 1/365 (365 дней в году, и ваш день рождения приходится на один из них).

Но учтите следующее: если вы соберете группу из 30 человек, у двоих из них почти наверняка будет один день рождения. Это поразило меня, когда я был студентом.

В моем классе статистики было 30 студентов, и профессор сказал, что шансы, что двое из нас будут иметь один и тот же день рождения, очень высоки. Фактически, у двух человек в классе был один и тот же день рождения. Для меня это не имело смысла, поскольку в году 365 дней.

Мое первоначальное (неправильное) рассуждение

Шансы 1/365, что я встречусь с другим человеком в тот же день рождения. Но мы говорим не только обо мне в классе. Мы говорим о том, что у каждого студента есть такие шансы. Это как если бы у меня был 1/10 шанс выиграть в лотерею, и я встречу другого человека, у которого также есть 1/10 шанс выиграть в лотерею, то в сумме у нас будет 2/10 шанс выиграть в лотерею. Вероятность «совпадения» увеличивается с каждым человеком:

Я встречаю человека с одним днем ​​рождения: 1/365

Я и еще один друг встречаю кого-то с одним днем ​​рождения: 1 / (365/2) = 183

Мы втроем встречаем кого-то с одним днем ​​рождения: 1 / (365/3) = 1/122



Двадцать девять из нас встречают кого-то с одним днем ​​рождения: 1/12.

Это довольно хорошие шансы, но недостаточно высокие, чтобы учесть все эти совпадения. Это оставило меня перед странной загадкой. На самом деле шансы намноговыше (более 100 процентов для класса 30).

Причина учитывает все возможные комбинации.

Почему шансы на самом деле намного выше!

У одного человека есть 1/365 шанс встретить кого-то с таким же днем ​​рождения.

У двух человек есть 1/183 шанса встретить кого-то с одним днем ​​рождения. Но! У этих двух людей может быть один и тот же день рождения, так что для этого вам нужно добавить коэффициент 1/365. Шансы становятся 1/365 + 1 / 182,5 = 0,008, или 0,8 процента.

Четыре человека (назовем их ABCD) имеют шанс 1/91, но есть 6 возможных комбинаций (AB AC AD BD BC CD), поэтому вероятность становится 1/91 + 6/365… и так далее.

Вы видите, что это не так просто, как x / 365!

Более простой способ рассчитать шансы на день рождения!

Если в классе 30 учеников, существует 435 способов объединить двух учеников в пары. Шансы на «матч» становятся 1/12 + 435/365… что намного больше 100 процентов.

Учитывая, что вероятность совпадения дней рождения любых двух учеников составляет 1/365, и существует 3 возможных совпадения, неудивительно, что двое из этих учеников имеют один и тот же день рождения.

(Используйте калькулятор комбинаций, чтобы вычислить комбинации. Он также перечислит все возможные комбинации имен, если вы действительно этого хотите!).

Стоит ли проводить этот эксперимент в классе?

Я буду первым, кто признает, что не использовал это в классе по основной причине, что с 25 учениками в классе шансы немного выше 50/50, что этот эксперимент сработает. Вторая причина заключается в том, что приведенная выше математика слишком упрощена, чтобы быть в некоторой степени понятной. Даже математикам на третьем или четвертом курсе будет немного сложно понять «истинные» вероятности того, почему это работает. Вычислить шансы на день рождения очень сложно по многим причинам, в том числе:

  • В будние дни рождается больше людей, чем в выходные; в основном из-за кесарева сечения и искусственных родов в течение недели, когда врачи предпочитают работать.
  • Сезонные тенденции означают, что летом рождается больше людей, чем зимой.

Выяснение истинных вероятностей требует байесовской логики; Перейдите на эту страницу Стэнфордского университета, чтобы получить более подробное объяснение байесовской логики и вероятности того же дня рождения.