Вероятности в Кено

Содержание: [Показать]

Чтобы понять вероятности кено, вы должны сначала полностью понять комбинаторную функцию. Например, в лото Мэриленда игрок выбирает 6 номеров из 49. Затем лотерея разыгрывает 6 номеров из 49 без замены. Игрок выигрывает джекпот, если все шесть чисел совпадают (порядок не имеет значения). Если вы не знаете, что вероятность выигрыша за игру составляет 1 из 13 983 816, вам необходимо просмотреть комбинаторную функцию, прежде чем идти дальше.

В кено казино или игровой автомат выдает 20 номеров из 80 без замены. Прежде чем это произойдет, игрок может выбрать от 1 до 15 (или более) номеров. «Улов» - это номер, выбранный игроком и выпавший из казино. «Промах» - это номер игрока, который был выбран, но не был разыгран казино. Игрок получает оплату в зависимости от количества сделанных пиков и уловов.

Хотя игрок выбирает первым, комбинации становятся очень большими при подсчете количества способов, которыми казино может сопоставить выбор игрока. Для начала есть combin (80,20) = 3 535 316 142 212 180 000 способов, которыми казино может вытянуть 20 чисел из 80. Многие калькуляторы не поддерживают такие большие числа. Поэтому, чтобы комбинации были меньше, мы будем предполагать, что казино разыгрывает первым, но хранит числа в секрете, а игрок пытается сопоставить числа, уже выпавшие. Уверяю вас, что математика в любом случае одинакова.

Все следующие изображения взяты из свода правил Луксорского кено. Все выплаты производятся "на одного". Другими словами, игрок никогда не получит назад свою первоначальную ставку, даже если он выиграет.

1 место

Давайте сначала рассмотрим карту 1 Spot. Здесь игрок просто выбирает одно число от 1 до 80. Затем казино выдает 20 номеров. Если один из этих 20 совпадает с номером игрока, то игроку выплачивается 3 доллара за ставку в 1 доллар.

Игрок может выбрать 80 номеров. 20 из них приведут к выигрышному билету. Таким образом, вероятность выигрыша составляет 20/80 = . Таким образом, ожидаемая доходность составляет * 3 = 75%.

2 места

Нам нужно начать использовать комбинаторную функцию для карты 2 Spot. Игрок выбирает 2 числа, и казино должно вытянуть оба из них, чтобы игрок выиграл. Утешительный приз за то, что поймал только один, не предоставляется. Всего существует комбинация (80,2) = 3160 способов, которыми игрок может вытянуть 2 номера из 80. Однако игрок должен вытащить 2 из 20 выпавших номеров в казино, чтобы выиграть. Таким образом, существует только комбинация (20,2) = 190 способов выпустить 2 выигрышных номера. Таким образом, вероятность выигрыша составляет 190/3160 = 6,01%. За выигрышный билет в 1 доллар выплачивается 12 долларов, поэтому ожидаемый доход составляет (190/3160) * 12 долларов = 72,15%.

В качестве альтернативы вероятность того, что первый выбор игрока совпадет с одним из номеров казино, составляет 20/80. Если он совпадает с вероятностью, второй выбор совпадет с одним из других 19 номеров казино из 79 - это 19/79. Таким образом, вероятность выигрыша составляет (20/80) * (19/79) = 6,01%.

3 точки

С картой 3 Spot мы начинаем получать утешительные призы за то, что не угадали каждый выбор. Сначала давайте определим вероятность поймать все 3 отметки. Существует комбинация (80,3) = 82 160 способов вытянуть 3 числа из 80. Чтобы поймать все три, игрок должен выбрать все 3 числа из 20 выпавших номеров казино. Для этого есть combin (20,3) = 1140 способов. Таким образом, вероятность поймать все 3 составляет 1140/82160 = 1,39%.

Есть утешительный приз за то, чтобы поймать 2 из 3. Представьте, что казино помещает 20 выпавших номеров в урну для выигрыша, а остальные 60 номеров - в урну для проигрыша. Количество способов поймать 2 из 3 - это количество способов вытянуть 2 шара из 20 в выигрышной урне, что составляет combin (20,2) = 190. Количество способов вытащить один проигравший шар из 60 очевидно, 60. Таким образом, количество способов поймать 2 из 3 - это произведение количества способов забрать 2 выигрышных шара из выигрышной урны и 1 шар из проигравшей урны, или 190 * 60 = 11 400. Мы уже знаем, что существует комбинация (80,3) = 82 160 способов вытянуть 3 шара из 80. Таким образом, вероятность поймать 2 из 3 составляет 11 400/82 160 = 13,88%.

Для любой ставки ожидаемый доход - это скалярный продукт для каждого возможного события вероятности и того, что она выплачивает. В следующей таблице показаны все возможные исходы с общим итогом в нижней строке.

Поймать Формула Комбинации Платит Возвращение
3 комбинировать (20,3) * комбинировать (60,0) 1140 42 доллара США 47880 долл. США
2 комбинировать (20,2) * комбинировать (60,1) 11400 1 доллар 11400 долл. США
1 комбинировать (20,1) * комбинировать (60,2) 35400 0 долл. США 0 долл. США
0 комбинировать (20,0) * комбинировать (60,3) 34220 0 долл. США 0 долл. США
Всего 82160 $ 59280 долл. США

В нижней правой ячейке показано, что по всем 82 160 комбинациям игрок получит обратно 59 280 долларов. Таким образом, ожидаемая доходность составляет 59280/82160 = 72,15%.

4 Место

Для билета на 4 места количество способов поймать все четыре равно combin (20,4) = 4845. Количество способов поймать 3 и пропустить один является произведением количества способов выбрать 3 из 20 и числа. способов выбрать 1 из 60 или комбинировать (20,3) * 60 = 1140 * 60 = 68400. Количество способов поймать 2 и пропустить 2 является произведением количества часов для выбора 2 из 20 победителей и 2 из 60 проигравших, или комбинировать (20,2) * комбинировать (60,2) = 190 * 1770. = 336 300. В следующей таблице показаны все возможные результаты.

Поймать Формула Комбинации Платит Возвращение
4 комбинировать (20,4) * комбинировать (60,0) 4845 120 долларов 581400 долл. США
3 комбинировать (20,3) * комбинировать (60,1) 68400 3 доллара США 205200 долл. США
2 комбинировать (20,2) * комбинировать (60,2) 336300 1 доллар 336300 долл. США
1 комбинировать (20,1) * комбинировать (60,3) 684400 0 долл. США 0 долл. США
0 комбинировать (20,0) * комбинировать (60,4) 487635 0 долл. США 0 долл. США
Всего 1581580 $ $ 1122900

Возврат билета 4 Spot составляет 1,122,900 / 1,581,580 = 71,00%.

4 специальные места

Затем давайте посмотрим на 4 Spot Special. Мы только что разработали все комбинации, поэтому нам нужно только применить их к другой таблице выплат, как показано ниже, на основе билета за 7 долларов.

Поймать Формула Комбинации Платит Возвращение
4 комбинировать (20,4) * комбинировать (60,0) 4845 1360 долларов США $ 6589200
3 комбинировать (20,3) * комбинировать (60,1) 68400 20 долларов $ 1368000
2 комбинировать (20,2) * комбинировать (60,2) 336300 0 долл. США 0 долл. США
1 комбинировать (20,1) * комбинировать (60,3) 684400 0 долл. США 0 долл. США
0 комбинировать (20,0) * комбинировать (60,4) 487635 0 долл. США 0 долл. США
Всего 1581580 $ 7957200 долл. США

Ожидаемый возврат билета - 7 957 200/1 581 580 = 5,0312 долларов. Однако мы должны разделить это на 7 долларов, стоимость билета, чтобы получить ожидаемую прибыль, которая составляет 5,0312 долларов / 7 долларов = 71,87%. Итак, если вы не возражаете против дополнительной волатильности и все равно собирались поставить 7 долларов, то ставка 4 Spot Special лучше, чем обычная 4 Spot.

5 Пятно

По остальным билетам я представлю только обратные столы. Ниже приводится таблица возврата для 5 Spot.

Поймать Формула Комбинации Платит Возвращение
5 комбинировать (20,5) * комбинировать (60,0) 15504 800 долл. США $ 12403200
4 комбинировать (20,4) * комбинировать (60,1) 290700 9 долларов США 2616300 долл. США
3 комбинировать (20,3) * комбинировать (60,2) 2017800 1 доллар $ 2017 800
2 комбинировать (20,2) * комбинировать (60,3) 6501800 0 долл. США 0 долл. США
1 комбинировать (20,1) * комбинировать (60,4) 9752700 0 долл. США 0 долл. США
0 комбинировать (20,0) * комбинировать (60,5) 5461512 0 долл. США 0 долл. США
Всего 24040016 $ 170 37 300

5-спотовая доходность = 17 037 300 долл. США / 24 040 016 = 70,87%

6 Место

Поймать Формула Комбинации Платит Возвращение
6 комбинировать (20,6) * комбинировать (60,0) 38760 1500 долларов США $ 58140000
5 комбинировать (20,5) * комбинировать (60,1) 930240 88 долл. США $ 81861120
4 комбинировать (20,4) * комбинировать (60,2) 8575650 4 доллара США $ 34302600
3 комбинировать (20,3) * комбинировать (60,3) 39010800 1 доллар $ 39010800
2 комбинировать (20,2) * комбинировать (60,4) 92650650 0 долл. США 0 долл. США
1 комбинировать (20,1) * комбинировать (60,5) 109230240 0 долл. США 0 долл. США
0 комбинировать (20,0) * комбинировать (60,6) 50063860 0 долл. США 0 долл. США
Всего 300500200 $ $ 213314520

6-спотовая доходность = 70,99%

7 Место

Поймать Формула Комбинации Платит Возвращение
7 комбинировать (20,7) * комбинировать (60,0) 77520 7000 долл. США $ 542640000
6 комбинировать (20,6) * комбинировать (60,1) 2325600 350 долл. США 813960000 долл. США
5 комбинировать (20,5) * комбинировать (60,2) 27442080 20 долларов $ 548841600
4 комбинировать (20,4) * комбинировать (60,3) 165795900 2 доллара $ 331591800
3 комбинировать (20,3) * комбинировать (60,4) 555903900 0 долл. США 0 долл. США
2 комбинировать (20,2) * комбинировать (60,5) 1037687280 0 долл. США 0 долл. США
1 комбинировать (20,1) * комбинировать (60,6) 1001277200 0 долл. США 0 долл. США
0 комбинировать (20,0) * комбинировать (60,7) 386206920 0 долл. США 0 долл. США
Всего 3176716400 $ $ 2237033400

7-спот имеет доходность $ 2237033400/3176716400 = 70,42%.

8 Место

Поймать Формула Комбинации Платит Возвращение
8 комбинировать (20,8) * комбинировать (60,0) 125970 20000 долларов США $ 2519400000
7 комбинировать (20,7) * комбинировать (60,1) 4651200 1500 долларов США $ 6976800000
6 комбинировать (20,6) * комбинировать (60,2) 68605200 90 долларов США $ 6174468000
5 комбинировать (20,5) * комбинировать (60,3) 530546880 9 долларов США $ 4774921920
4 комбинировать (20,4) * комбинировать (60,4) 2362591575 0 долл. США 0 долл. США
3 комбинировать (20,3) * комбинировать (60,5) 6226123680 0 долл. США 0 долл. США
2 комбинировать (20,2) * комбинировать (60,6) 9512133400 0 долл. США 0 долл. США
1 комбинировать (20,1) * комбинировать (60,7) 7724138400 0 долл. США 0 долл. США
0 комбинировать (20,0) * комбинировать (60,8) 2558620845 0 долл. США 0 долл. США
Всего 28987537150 $ $ 20445589920

8-спотовая доходность = 20445589920 $ / 28987537150 = 70,53%.

9 Место

Поймать Формула Комбинации Платит Возвращение
9 комбинировать (20,9) * комбинировать (60,0) 167960 25 000 долл. США 4199000000 долл. США
8 комбинировать (20,8) * комбинировать (60,1) 7558200 4000 долл. США $ 30232800000
7 комбинировать (20,7) * комбинировать (60,2) 137210400 300 долларов США 41163120000 долл. США
6 комбинировать (20,6) * комбинировать (60,3) 1326367200 43 доллара США 57033789600 долл. США
5 комбинировать (20,5) * комбинировать (60,4) 7560293040 4 доллара США $ 30241172160
4 комбинировать (20,4) * комбинировать (60,5) 26461025640 0 долл. США 0 долл. США
3 комбинировать (20,3) * комбинировать (60,6) 57072800400 0 долл. США 0 долл. США
2 комбинировать (20,2) * комбинировать (60,7) 73379314800 0 долл. США 0 долл. США
1 комбинировать (20,1) * комбинировать (60,8) 51172416900 0 долл. США 0 долл. США
0 комбинировать (20,0) * комбинировать (60,9) 14783142660 0 долл. США 0 долл. США
Всего 231900297200 $ $ 162869881760

9 спотовая доходность = 70,23%

10 Место

По какой-то причине существует минимум 2 доллара, начиная с 10-балльной точки. Вот таблица возврата для билета за 2 доллара.

Поймать Формула Комбинации Платит Возвращение
10 комбинировать (20,10) * комбинировать (60,0) 184756 50000 долларов США $ 9237800000
9 комбинировать (20,9) * комбинировать (60,1) 10077600 8000 долл. США $ 80620800000
8 комбинировать (20,8) * комбинировать (60,2) 222966900 2000 долл. США 445933800000 долл. США
7 комбинировать (20,7) * комбинировать (60,3) 2652734400 260 долл. США $ 689710944000
6 комбинировать (20,6) * комбинировать (60,4) 18900732600 40 долларов $ 756029304000
5 комбинировать (20,5) * комбинировать (60,5) 84675282048 4 доллара США 338701128192
4 комбинировать (20,4) * комбинировать (60,6) 242559401700 0 долл. США 0 долл. США
3 комбинировать (20,3) * комбинировать (60,7) 440275888800 0 долл. США 0 долл. США
2 комбинировать (20,2) * комбинировать (60,8) 486137960550 0 долл. США 0 долл. США
1 комбинировать (20,1) * комбинировать (60,9) 295662853200 0 долл. США 0 долл. США
0 комбинировать (20,0) * комбинировать (60,10) 75394027566 0 долл. США 0 долл. США
Всего 1646492110120 $ $ 2320233776192

Цена на 10 спотов за 2 доллара приносит в среднем 1,4092 доллара. Таким образом, ожидаемая доходность составляет 1,4092 доллара США / 2 = 70,46%.

В книге правил Луксорского кено идет выбор 15 плюс выбор 20. Однако, надеюсь, вы уже понимаете, как делать математику самостоятельно.